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2017-04-14

連立不等式の解き方はこれで完璧!100点を取るコツは数直線の図を描くこと!

連立不等式の解き方

方程式の分野に「連立方程式」があったように、不等式の分野にも「連立不等式」という問題が存在します。ここでは連立不等式について学習をします。

やり方さえ分かってしまえば決して難しいものではありません。

連立不等式とは

連立不等式とは二つ(あるいはそれ以上)の不等式が問題与えられて、それら全てを充たすxの範囲を求める問題です。

具体的な問題とその解き方を検討してみましょう。

連立不等式の問題と解き方

問題1

【問題1】以下の連立不等式を解きなさい

x+1>2    ――― ①
-x+1>-3  ――― ②

ここでは、二つの不等式の「両方を充たすx」の範囲を求めなければなりません。その点で複雑さを感じるかもしれません。

しかり、連立方程式の場合には、代入法やら加減法と言った、二つの式をリンクさせながら計算する作業が必要でしたが、連立不等式の場合にはそのような面倒な作業をする必要がありません。

二つの不等式をまずは整理して、それぞれのxの範囲を求めてやればよいのです。

解法

①の不等式を解く

x+1>2
x>2-1
x>1  ――③

②の不等式を解く

-x+1>-3
-x>-3-1
x<4  ――④

③と④を満たすxの範囲を導く

このように、それぞれの方程式から③と④というxの範囲を導くことができましたね。そして、連立不等式では、「両方を充たすxの範囲」を求めなければいけません。

答え

二つの範囲を合わせて、

1<x<4

が、答えとして導かれることになります。

勉強のポイントは図に起こすこと

「二つの答えが重ねる部分」を記せばよいだけです。頭の中でイメージするのが難しい場合には、数直線を書いて、それぞれの範囲を図示することで視覚的にも解答をイメージしやすいのではないでしょうか。

xの範囲

もっとも、必ずしも、二つの不等式を計算した結果、【問題1】のように、二つの範囲が上限と下限を導き出してくれて、結果として得られる連立不等式の解答が「xをはさむ」形になるとは限りません。【問題1】を少し修正した以下の問題について考えてみましょう。

問題2

【問題2】以下の連立不等式を解きなさい

x+1>2    ――― ①
-x+1<-3  ――― ②

まずは二つの不等式を整理しましょう。

解法

①の不等式を解く

x+1>2
x>2-1
x>1  ――③

②の不等式を解く

-x+1<-3
-x<-3-1
x>4  ――④

③と④を満たすxの範囲を導く

いかがでしょうか。③は「xは1よりも大きい」ということを意味し、④は「xは4よりも大きい」ということを意味します。

問題1と問題2の違い

このような場合であったとしても、あくまでも連立不等式では「共通部分」が解答になるということはかわりません。こちらも分かりやすく数直線の図に起こしてみましょう。

図からわかる通り、それぞれの共通部分は、「xは4より大きい」という部分だけになりますね。

つまり、④で得られた範囲は、全て③で得られた範囲に含まれていることから、結果としてたまたま④をそのまま連立不等式の解答とすることができる、ということです。

答え

x>4

が【問題2】の連立不等式の解答となります。

まとめ

一般的に学校では数直線を描く作業を強いる場合が多いかと思います。

しかし、時間効率的なことと、「不等式をかみくだいた日本語で頭の中で咀嚼できている」ならば、わざわざ数直線を描く手間をかける必要はないかもしれません。しかし、それは定着進度によります。

まずは作図をしっかりと行い正解を確実に得られるようしましょう。

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