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2017-04-08

一次関数の問題はこれで完璧!グラフの書き方と変化の割合の求め方

一次関数の勉強法

小学生の算数でもグラフを扱うことはありましたが、中学生で扱うグラフは、それをもう少し一般化したものとなります。

単純にグラフを読み解くだけではなく、そのグラフと数式を結び付ける作業が一次関数では要求されることになります。

一次関数の問題に入る前に

一次関数の学習に入る前に、座標についての知識を簡単に確認しておきましょう。関数のグラフの土台となる部分の知識、座標の読み方等は当たり前にしておかなければなりません。

横をx軸、縦をy軸と言います。二つの軸が交わる点を原点と言います。原点(0,0)と表記すること、そして、各座標の表現方法は大丈夫でしょうか。例えば、A(2,3)を図示することができるか、確認をしてください。

2.一次関数とは

【y=ax+b】
このような一般式によって表現される関数のことを「一次関数」と言います。

まずは、記憶すべき名称について簡単に説明します。aを傾きbをy切片と言います。aの傾きについては、「変化の割合」と表現することもあります。

この名称については、式を見ているだけでは何を意味しているのか全く分からないかと思いますが、グラフと関連付けることによって、意味が明瞭になるでしょう。

y=ax+bの一次関数のグラフ

一次関数のグラフは、上の図のように直線を描いています。そして、各部の名称についてもう一度確認してみましょう。

aは「変化の割合」でした。x軸方向に1進んだ時に、y軸方向にa進むという性質があります。したがって、直線の傾きの大きさを表現する数ということになります。

bはy軸との交点の座標となっています。y切片(0、b)という点は、y=ax+bの一次関数の式のxに0を代入したものになりますね。

つまり、xが0の時の値がbということになり、y軸との交点という表現をすることもできる、ということです。

 一次関数の問題【基本編】

一次関数の基本的な問題は「グラフを図示することが問われる問題」と「一次関数の式を求める問題」の二つに大別されます。

いずれにせよ式を求めなければ図示をすることもできませんので、まずは式をしっかりと求めることができるようにしましょう。それでは具体的に考えてみましょう。

変化の割合と切片から一次関数を求める

【問題1】

ある一次関数について、傾きが1、y切片が2の時、その式を求めなさい。

まずは、基本問題です。各部の名称がしっかりと理解できていれば問題なく解答できるでしょう。

つまり、y=ax+bに関して、問題分より、a=1、b=2であることが明らかであるから、求める式の答えは

y=x+2

となり、以下のように図示できます。

図示する場合の注意点ですが、y軸との交点だけではなく、x軸の交点もしっかりと意識して書くことがポイントです。これができていないと、「本当に傾きについて理解できているのか?」というように採点者に思われてしまいます。

変化の割合と座標から一次関数を求める

【問題2】

ある一次関数について、変化の割合が2、点(1,3)を通る時、その式を求めなさい。

先程の問題とは少し異なります。y切片が提示される代わりに、別に通る点の座標が示されています。

一次関数がある点を通過するということは、その座標のxyを一次関数の式に代入したときに、その式が成立することを意味するということを覚えておいてください。とすると、

一次関数y=ax+bについて、変化の割合が2であることから、a=2がわかります。

また、この関数が(1,3)を通ることから、これを代入すると、

3=a×1+b
3=2×1+b
b=5

したがって、求める関数は、y=2x+5、となり、グラフは以下のようになります。

というように、傾き(変化の割合)と一つの点の座標が分かっていれば、当該一次関数の式を求めることができます。一次関数を求める問題は、もう一つバリエーションがあります。

2つの座標から一次関数を求める

【問題3】

ある一次関数について、この関数が、A(-1,0)、B(1,4)の二点を通るとき、その式を求めなさい。

今回は、一次関数の要素について、問題分で一切提示がされていません。しかし、このような場合であったとしても、通過する二点の座標がわかっていれば、当該一次関数を特定することは可能となります。すなわち、

一次関数y=ax+bについて、これが二点ABを通過することから、それぞれ代入すると、

y=ax+b
0=-a+b――①
4=a+b――②

となる。つまり、①②は連立方程式となるので、

①-②より、

0-4=(-a+b)-(a+b)
-4=-2a
4=2a
a=2

これを②に代入すると、

4=a+b
4=2+b
b=2

したがって、求める一次関数は、y=2x+2、となります。

二点の座標が分かっているだけでも、それを連立方程式の問題に組み替えることによって一次関数の式を求めることができるのです。

連立方程式の理解にあやふやな点がある人は、代入法・加減法についてしっかりと復習して下さい。今回の解答では加減法を採用しましたが、当然、代入法によっても解答を得ることはできます。練習を兼ねて試してみて下さい。

参考リンク:連立方程式の解き方はこれで完璧!代入法・加減法による解法と勉強のポイント

変化の割合を求める方法

今回のような二点の座標が条件として出されている場合には、傾きを先に出すことによって解答とすることもできます。つまり、AからBに移動する際に、この関数ではどれだけの変化率があるのか、という点に注目するのです。すなわち、

と表現することができます。

つまり【問題3の座標A(-1,0)、B(1,4)上記の式に当てはめると、

a=(4-0)/(1-(-1))
a=2

という形で、先にaを求める方法も考えられます。この場合、bは、ABいずれかの座標を代入することで処理することができますね。

一次関数の問題【応用編】

【問題】y=-4x+2(①)、y=-x-4(②)の二つの一次関数があるとき、その交点の座標を求めなさい。

今回の問題を考える前に、グラフの形状に関して注意点があります。

つまり、ここまでで出てきた一次関数のグラフは傾き(aの値)が全て正の値でした。そのようなグラフは「右肩上がり」の形状となります。

対して、今回出てきた二つの一次関数は、いずれもその傾きが負の数です。このようなとき、グラフの形状は上の図のように、「右肩下がり」の形状となります。

計算上は特に気にする必要はありませんが、このように、傾きによってグラフの形を大きく二分することができるということは、図示する場合に非常に効果的でしょう。

2つ一次関数の交点の求め方

二つの一次関数の交点を求める際には、その意味を掘り下げて考えれば簡単に求めることができます。

交点ということは、①と②の一次関数のどちらの上にもあるということです。ということは、この交点の座標は、①と②のいずれの式に代入しても式を充たすはずです。とすると、この交点の座標を(p、q)としたとき、

q=-4p+2
q=-p-4

の連立方程式を解けばよい、ということになります。これを解くと(練習のため自分で計算してみて下さい)、p=2、q=-6、となることから、交点は(2、-6)と求めることができます。

まとめ

このような応用問題以外にも、例えば一次関数が三つ用意されて、それぞれに囲まれた部分が三角形であるような場合に、その面積を求める問題など、応用問題も限りなくバリエーションが生まれます。

ただし、そのような場合であったとしても、これまで見てきたように、しっかりと一次方程式の式を分析して、正確にグラフを書くことができれば解答の糸口を見つけることができるでしょう。

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