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2017-03-30

連立方程式の解き方はこれで完璧!代入法・加減法による解法と勉強のポイント

1.はじめに

連立方程式の難しさとして考えられるのは、

  1. 方程式が二つあることによって「難しそう」というイメージをもってしまう、
  2. 解法を二つ覚えなければならない、

という二点ではないでしょうか。

1-1.方程式が二つあること

確かに方程式が二つ(あるいはそれ以上)提示されることによって、一見複雑に感じるかもしれません。

しかし、中学生二年生の範囲に限定して言えば、基本的に一次方程式がメインです。一次方程式を確実に解ける力があれば、連立方程式に慣れることは容易いように思います。

つまり、連立方程式を学ぶ前に、まずは一次方程式の定着を確実にしなければなりません。

(参考リンク:一次方程式はこれで完璧!方程式を解くために必要な3つのステップと勉強のポイント

1-2.2つの解法

2つの解き方ついては、残念ながら以下で説明する二種類の解法について、どちらも理解する必要があるので、頑張って壁を超えるより他ありません。

現在の学習指導要綱では、連立方程式の問題に関して、ただ解答に至ることだけが求められているのではなく、解答プロセスを指定した上での答案構成が求められています。

したがって、どちらの解法についても、基本的な問題から丁寧に理解することに努めましょう。もっとも、解法が指定されない問題については、自分で解法を選択することが可能です。

その意味においては、生徒側の裁量が認められる分、ある程度までの習得は簡単であるとも言えます。

2.連立方程式とは

連立方程式とは、二つ以上の未知数を含む二つ以上の方程式の組、という言い方がされます。もっとも、学習初期の段階においては、未知数の数・方程式の数は二つだけであることが多いです。

したがって、まずは「二つの文字を含む、二つの方程式のこと」程度のイメージで充分でしょう。問題で与えられた二つの方程式を利用することによって、二つの文字の値を求めることが目標となります。

3.連立方程式の解き方について

上でも述べた通り、連立方程式には、「代入法」「加減法」の二つの解法があります。

どちらかが簡単でどちらかが難しい、というものではなく、問題によってはどちらかの解法の方が解きやすい、という程度の差があるだけです。

その場合に解きにくい方法を選択しても、解答に至ることは可能です。

しかし、上述の通り、定期テスト等では、解法が指定される場合が多いので、どちらかの方法だけを習得すれば良いというものでもありません。

面倒に感じるかもしれませんが、練習のために、同じ問題をそれぞれの解法で解くということをしてみても良いかもしれませんね。

3-1.『代入法』による解法

【問題1】以下の連立方程式を、代入法を利用して解きなさい。

x-y=1   ――― ①

2x+3y=7――― ②

解答に入る前に、必ず癖付けて欲しいのが、方程式に番号をつけることです。便宜上、こちらで先に①②と書いてしまいましたが、実際の試験問題では書かれていません。

まずは、代入法の一段階目です。

まず、二つの方程式のうちのどちらかを利用することによって、xかyのどちらかについて解きます。どちらについて解いても問題ありません。わかり易いと感じた方を選択して下さい。ここではxについて解いてみましょう。

①の式を整理

x-y=1
x=y+1――― ③

このように、一つの方程式から、どちらかの文字について整理することができれば、下準備は完成です。この整理によって得られた③を、②の方程式に代入します、つまり、

2x+3y=7
2(y+1)+3y=7
2y+2+3y=7
5y=5
y=1―――④

yの値が求まりましたね。これを、再び元の①あるいは③に代入します。③に入れる方が簡単ですね。

③に④の値を代入

x=y+1
x=1+1
x=2

以上により、x=2、y=1、という解答が得られます。

また、本問では先にxについて整理することによって、まずyの値が求まることになりましたが、先にyについて整理する方法によっても解答に至ります。

ただ、①の式をよく見れば、y=…、に整理するよりも、x=…、のように整理する方が簡単だということは自明のことでしょう。このように、どちらの方がやり易いか、ということを常に意識することがポイントです。

3-2.『加減法』による解法

【問題2-1】以下の連立方程式を、加減法を利用して解きなさい。

2x+2y=6 ――― ①

2x+3y=8――― ②

加減法は、方程式全体を足したり引いたりする作業を重ねることによって解答を導く方法です。方程式全体の処理をする必要がある点で難しく感じるかもしれませんが、加減法を利用した方が実は簡単な場合も多いです。

連立方程式をよく見て下さい。①②のいずれの方程式も「2x」という部分が共通してありますよね。この部分をいきなり消してしまうのが加減法です。

②-①を行う

2x+3y=8
-2x+2y=6
――――――――――
0x+y=2 ―――③

分かりやすいように0xと書きましたが、本来は表記する必要がありません。

二つの式の対応部分をそれぞれ引くことによって、yだけの式を導くことができます。

そして、③を①あるいは②に代入することによって、xの値を求めることになります。

③を②に代入

2x+3y=8
2x+3×2=8
2x+6=8
2x=8-6
2x=2
x=1

以上により、x=1、y=2、という解答が得られます。

3-3.『加減法』の実践的な解法

【問題2-2】以下の連立方程式を、加減法を利用して解きなさい。

x+2y=5 ――― ①

2x+3y=8――― ②

加減法を求められていますが、【問題2-1】とは異なり、わずかばかりの下準備が必要です。つまり、【問題2-1】では、最初から二つの式に同じ部分がありましたが、今回はありません。

したがって、自分でそれを作ってやる必要があります。

①×2を行う

2x+4y=10 ――― ③

このように①の式を変形することによって、「①と②の連立方程式」という問題から、「②と③の連立方程式」という問題に変化させることができます。そして、この段階になれば、先の【問題2-1】と同じ処理をするだけです。

③-②を行う

2x+4y=10
-2x+3y=8
――――――――――
y=2 ――― ④

④を①に代入

x+2y=5
x+2×2=5
x=5-4
x=1

これにより、x=1、y=2、という解答が得られます。

なお、最初の下準備の段階で、①×3と②×2をそれぞれに行うことによって、両者に6yという共通項を見出し、これを消去するという加減法も考えられます。

本問では、xにそろえる方が少ない労力で足りると判断できたので上述のような解法を選択しましたが、練習を兼ねるためにも、別の方向からの解法にも挑戦してみて下さい。

4.勉強のポイント

今回ははじめて連立方程式を学ぶ生徒を前提としていますので、比較的容易な計算によって解答が得られる問題を選びましたが、実際には分数が絡むなどの応用的要素を含む問題が出題されます。

そのような複雑な問題に出会った時に、連立方程式の解き方自体がおろそかでは冷静な数的処理を行うことは難しいでしょう。まずは基本的な問題で、代入法・加減法のいずれを指定されても答えを導くことができるように練習を重ねて下さい。

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