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2017-04-13

一次不等式の解き方はこれで完璧!基礎を学んで知識を定着させよう

一次不等式の勉強

中学生に入ると、それまでの算数の範囲では「計算式」と捉えられていたものを「方程式」という形で再構築することが求められます。

難しい言い方をしてしまったかもしれませんが、要はxという未知数を利用した形で計算式を解けば良いだけですので、この入り口で躓いてしまう人は少ないでしょう。

仮に難しさを感じたとしても、少しの練習でxの値を求める作業に慣れることができたのではないでしょうか。

今回はこの方程式の応用的な位置付けの「不等式」について、学習を進めたいと思います。

一次不等式とは

不等式・不等号についての確認

不等式とは、不等号を利用して、数の大きさについての関係を表した数式のことを言います。

不等号とは、「>」「<」「≧」「≦」のような記号ですね。高校生までの学習分野では、基本的にこの四種類の意味を理解しておけば足ります。

一次不等式の目的

方程式では、xの正確な値を求めることが目的でしたね。

それに対して、不等式では、xの正確な値を求めることが目的なのではなく、xの範囲を求めることが目的とされます。

一次不等式とは、一次方程式の「=」の部分に、不等号が使われているものだとイメージすれば十分です。

具体的な問題に触れながら、適宜注意点について説明することにしましょう。

一次不等式の基本問題

【問題1】以下の不等式を解きなさい。

x+2>3

極めてシンプルな問題です。が、このような例からしっかりイメージを作ることが大切です。

一次不等式も、一次方程式と同じように、「分からない文字」と「数字」を、左辺と右辺にわけた上で、左辺を求めたい文字について整理することには変わりません。

つまり、

x+2>3
x>3-2
x>1

というように答えが得られます。移項した際に、符号が変わる点も方程式と同じです。

一次不等式の符号に関する問題

【問題2】以下の不等式を解きなさい。

2x+1>3

xの前に2がついている点で、少し【問題1】より難易度があがりましたね。

しかし、このような場合であっても、先程と同じように整理をする作業、つまり、方程式を解く時と同じような作業をするだけで解答に至ることができます。つまり、

2x+1>3
2x>3-1
2x>2
x>1

というように答えが得られます。色づけした部分については、次の【問題3】との比較で使用しますので、今は気にしないで下さい。

【問題3】以下の不等式を解きなさい。

-2x+1>3

さて、ここが不等式の難しいところです。【問題2】と【問題3】で、どこが異なるか考えてみましょう。

それは、xの係数が「2」なのか「-2」なのか、という点です。

不等式を解く際には、この符号の違いというものが計算式上、かなりの意味を持ってくるので注意が必要です。まずは、以下に、解答例を示します。

-2x+1>3
-2x>3-1
-2x>2
x<-1

違いがわかるでしょうか。

【問題2】と【問題3】の違い

【問題2】の色付けした部分で行っている作業とは、『2xをxにするために、両辺を「2」で割っている』というものです。

そして、【問題3】の色付けした部分で行っている作業とは、『-2xをxにするために、両辺を「-2」でわっている』というものです。

不等号の向きについて、注意してみてください。【問題2】では、不等号の向きに変化はありませんね。それに対して、【問題3】では不等号の向きが変わっています。

不等式にマイナスをかけると不等号の向きが変わる

不等式を解く上で、式全体に「-」をかける場合、あるいは、わる場合、には、不等号の向きを変えなければならないのです。

(×と÷は同じ作業を別の表現にしただけということは中学生ならわかりますね。2でわるということは、1/2をかけるという言い方に直すことができるからです)

これについては、ただこのように機械的に暗記してしまいましょう。計算式を解く上で、その都度なぜ不等号の向きがかわるのか、というようなことを考えていたのではあまりに時間がもったいないからです。

マイナス符号で不等号の向きが変わる理由

しかし、もし気になる人がいれば、あるいは、この点を説明することによってこのルールを忘れてしまった時にも対応できるようなにする場合には、以下のようなやり方で当該ルールを使用せずにこの問題を解くことを一度は経験しても良いかもしれません。

-2x+1>3
-2x>3-1
-2x>2

ここで、左辺の-2xを右辺に移項します。移項する際には符号が変わりますね。つまり、

0>2x+2

次に、右辺の+2を左辺に移項します。

-2>2x
-1>x

いかがでしょうか。

右辺と左辺で位置は異なりますが、「-をかけた時に、不等号の向きが変わる」というルールを使わなくても、同じような結果を導くことができます。参考までに。

一次不等式のまとめ問題

【問題4】以下の不等式を解きなさい

2(x-1)<3x+4

一次不等式についての難易度水準として極めて平均的な本問を解くことで、もう一度知識を確認しましょう。すなわち、

2(x-1)<3x+4

まずは()をなくします。

2x-2<3x+4

xは左辺に、その他は右辺に移項しましょう。符号に注意です。

2x-3x<2+4
-x<6

xを得るためには両辺に「-1をかける」ことになりますね。不等号の向きに注意です。

x>-6

が答えとなります。

まとめ

単純な一次不等式であれば比較的定着は早いかもしれません。

しかし連立不等式や二次不等式の場合には、連立方程式・二次方程式に比べても、「不等式」という性質上、気を配らなければならないことがかなり増えてしまうので、一層の練習が必要となります。

にもかかわらず、高校受験においては必ず出題される範囲でもあります。定期テストと異なり、入学試験においては、「差をつける」ための出題がされることから、多くの学生が難しいと感じる分野からの出題を避けることはできないのです。

したがって、まずは基本の一次不等式の問題から確実に理解し、不等式に対する正確な考え方を積み重ねていきましょう。

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