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2017-04-03

二等辺三角形の性質と辺の長さの求め方!押さえておきたい三辺の長さの比

前回は三平方の定理を利用した辺の長さの求め方を紹介しました。今回は三平方の定理も踏まえつつ、二等辺三角の性質と辺の長さの求め方についてご紹介します。

直角二等辺三角形の性質と辺の比率

性質

直角二等辺三角形は、極めて特殊な形態の三角形です。

直角三角形の性質として、∠BACは90°となります。そして、二等辺三角形の性質として、AB=AC、故に、∠ABC=∠ACB=45°となります。

辺の比率

直角三角形の性質を有することから、その辺の比に三平方の定理を適用することができ、結果として、その辺の比にかなりの特殊性が生まれることになります。

つまり、内角がそれぞれ90°、45°、45°の二等辺三角形の三辺の比は、1:1:√2となるのです。

【公式】
直角二等辺三角形の辺の長さの比
1:1:√2

この公式はかなりの頻度で利用する必要が生まれますので、是非とも覚えてしまうことをおすすめします。

直角二等辺三角形の辺の長さの求め方

では、早速の前述の公式を利用して辺の長さを求める問題を解いてみましょう。

【例題】辺ABの長さが2cmの時、辺BCを求めなさい

前述の比率「1:1:√2」を利用します。

辺AB:辺BC=1:√2

となるので、

2:辺BC=1:√2
辺BC=√2×2
辺BC=2√2

となります。

三平方の定理からも確認してみましょう。

BC²=AB²+AC²
BC²=2²+2²
BC²=8
BC=√8=2√2

直角二等辺三角形の辺の長さを求める問題は2パターンです。1つは斜辺の長さを求める場合、もう1つは斜辺の長さから残りの辺の長さを求める場合です。

どちらであってものこの公式を知っていれば求めることが可能です。

正三角形の性質と辺の長さ

正三角形も広い意味で二等辺三角形と言えます。正三角形の性質と辺の長さを求める頻出の問題をみてみましょう。

性質

正三角形とは、三辺の長さが全て等しい三角形のことを言います。

様々な三角形がある中で、辺の長さが全て等しいという特殊性を備え、それ故にいくつかの性質が導かれます。

まず正三角形の内角は全て60°です。また、三辺の長さは全て等しくなります。つまり、二等辺三角形の性質を兼ね備えている、あるいは、特殊な二等辺三角形であるということもできるでしょう。

辺の長さ

重要なのは、以下で説明する図のように、一つの頂点から垂線を下ろした場合の性質についてです。この場合、二つの合同な直角三角形を作ることができるのですが、その辺の比が非常に重要です。

つまり、内角がそれぞれ90°、30°、60°の直角三角形の三辺の長さの比は1:2:√3となるということです。

【公式】
90°、30°、60°の直角三角形の三辺の長さの比
1:2:√3

正三角形の辺の長さの求め方

この問題も同様に公式を利用して辺の長さを求める問題を解いてみましょう。

【例題】辺ABの長さが4cmの時、辺AD,BDの長さを求めなさい

∠ABD=60°、∠BDA=90°から90°、30°、60°の直角三角形であることがわかりますね。

辺BDの長さの求め方

辺AB:辺BD=2:1

となるので、

4:辺BC=2:1
辺BC=4÷2
辺BC=2

辺ADの長さの求め方

辺AB:辺AD=2:√3

となるので、

4:辺AD=2:√3
辺AD=4√3÷2
辺AD=2√3

となります。

というように長さを求めることができるわけです。このように辺の比を導くことができますので、三平方の定理と合わせて暗記しておくと良いでしょう。

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